《维特根斯坦数学哲学思想：一种语言游戏》（狐狸居士2018-01-22）報道：
论后期维特根斯坦数学哲学思想：传统数学哲学实在论的幻灭
摘要：后期维特根斯坦哲学思想中关于逻辑推演与数学运算的相关论述可以看做维特根斯坦本人后期对其思想的总结。具体展开既关涉到数学哲学中的基本问题，又承接其早期哲学思想，对于深入全面理解维特根斯坦本人的哲学思想更是至关重要。对于维特根斯坦而言，数学本身就是一种“语言游戏”，但是却是一种具有明确规则的“语言游戏”，自有其确证性。
一20世纪数学哲学的争论及其基本问题的纠缠
数学与哲学的关系渊源已久，可以说二者是相伴而生。早在古希腊时期，柏拉图和欧几里得就分别是数学与哲学两个领域在同一时期的代表人物。柏拉图学院门口的“不懂几何者不得入内”的话语更是凸显了二者的密切关系。运用哲学通过拷问数学领域的基本问题，呈现出“数学知识何以可能”这一问题贯穿了数学哲学的发展史。诸如“数学本质是什么？”、“数学是先验的还是经验的？”、“数学研究的对象是什么？”等问题都可视作其核心问题的展开。数学哲学的学术使命就是要对于数学这一整全学科的基础给予哲学形而上的呼应。
经验与先验二者与知识的关系历来是哲学的核心问题之一。而自亚里士多德对基础公理的自明性确证以来，似乎所有数学知识的浮现都是在其原有的基础之上经过严密的逻辑推演而推导出来的，所有数学知识都是先验存在而等待被人“发现”的。但是，一个悖论就是先验的、被发现的数学知识如何与生活中的经验世界相匹配？对此，德国哲学家康德则创造性认为数学与形而上学皆为人的先验综合知识。
但是，数学所要研究的对象究竟是什么？是否是某种具体的客体存在？是否有其实在性？数学知识所涉的实在性本质，自古希腊起至今一直都是数学哲学中最令人费解的难题。数学究竟描述了一种什么样的实在?如何理解数学中的存在?数学为何具有如此不可思议的有效性?围绕这些千古难题，古今历代的数学家、哲学家和科学家们都为此付出了智力上的努力，但至今仍未达成共识。[1]
数学与逻辑通过建立在严格推理论证基础上去获取知识，而这种知识或许就是最“接近”真理或说最“像”真理的了。但是，这种数学知识的也并非想象那般绝对严密。但是学术界对于数学由于是出于理性逻辑的产物，而对其“过度”信赖的典型就是20世纪的数学哲学中的基础主义及其三大分支。所谓的数学基础主义就是指所有的数学知识的产生都依赖于某一根基性的“第一原则”，然后经由逻辑演绎而得出。整个过程都严格符合理性的逻辑标准。这也集中反映了20世纪数学哲学家们对于这种逻辑主义的肯定。逻辑主义是基础主义的一种表现，基础主义又是还原主义的一种形式。还原主义寻求的是一种知识领域的等级次序。在这种次序中，所有的知识建立在一些基本的第一原理上，从这些基本的第一原理出发，推出整个的知识体系，因而也就能够合理的证明这一系统。因此整个知识的状况问题也就集中在这些第一原理的状况上。这需要假设一些绝对、永恒和普遍的理性秩序或者理性证明。数学哲学中的逻辑主义就是这样的一种企图。[2]
贯穿19世纪和20上半叶西方哲学议程表的一个主要议题，是用还原主义的方式说明数学的必然性和先验性。[3]而在19世纪至20世纪上半叶最具代表的则就是包括以罗素为代表的逻辑主义学派、以布劳威尔为代表的直觉主义学派和以希尔伯特为代表的形式主义学派为了捍卫数学知识的准确性，都在忙于用各自的方法为其提供可靠的依据。但是哥德尔不完全性的提出则否决了其试图建构数学完美性的努力。同时，在数学的基础领域中关于数学所要研究的对象的实在性问题的讨论也推动着20世纪上半叶数学哲学研究的转向。究竟数学所研究的对象存在不存在？该对象是否有其实在性？当数学哲学家面对函数、自然数、几何图形、方程式等时，它们是否具有其主体性？这一系列的发问在20世纪初期的讨论中愈发显得尖锐深刻。传统意义上，数学研究有其明确的对象的观点并不有过多争议，但是20世纪初期集合论以及无限概念的提出则引发了深刻的数学危机。“无限”究竟存在与否？“无限”是否具有实在性？“无限大/小”能否在经验中实在？这些新生概念的实体性的合法性如何被论证？等等一系列问题都推动数学哲学新发展。
很显然，面对数学中提出的新问题，传统的途径势必会陷入困境之中。[4]20世纪的数学的发展的新趋势就使传统数学哲学的各种基础主义陷入困境。在传统意义上，数学家的实践活动、数学史、数学知识外部的具体社会与历史语境等因素往往不被重视。然而数学发展越来越表明数学本身并不是静止、绝对、完美、理性的产物，其中往往夹杂着诸多外部因素。例如数学知识的产生确实有其理性逻辑推演的内部原因，但是数学家彼此之间的交流、非理性与非逻辑的直观感觉等也对于数学知识的产生发挥作用。20世纪后半叶，引起数学哲学革命(从数学史和社会的角度来探讨数学的本质)的一个动因就是数学知识的“可错主义”思想逐渐引起数学哲学家的注意。[5]而拉卡托斯的可错主义的产生就是由于数学自身的绝对性、完美性、规范性不断遭受质疑，典型例子就是非欧几何对于欧几里得几何公理自明性的冲击。
因此，20世纪后期，数学哲学更多关注这些具有人为建构性的因素对于数学本质的影响。尤其是20世纪70年代以来，受到知识社会学的影响，学者更多关注社会性对数学的影响，关注社会语境下的数学本质。这种思想的历史根源要追溯到维特根斯坦的数学哲学。他首次提出数学证明的修辞观和重视数学家的实践活动。[6]
同时，达米特所谓的“语言学的转向”对于维特根斯坦数学哲学思想催发亦提供了历史语境。另一个问题是在不诉诸于类似康德直觉的情况下说明数学的应用。关于这一方面，最富有成效的发展是语义学的传统。语义学传统历经博尔扎诺、弗雷格、早期维特根斯坦和维也纳学派的鼎盛时期，其主要的论题是将必然性和先验知识落脚于语言的使用。因而，哲学家开始将他们的数学探索的中心转向语言。[7]
二反数学实在论：维特根斯坦后期数学哲学思想对于传统的反动
维特根斯坦在1930年初开始就已经对于数学问题做过专门讲座，并整理了一系列笔记，其学生将其文稿整理成书并命名为《维特根斯坦关于数学基础的演讲》，于1975年出版，这无疑是观察维特根斯坦数学思想的重要文本。
对于整全的维特根斯坦哲学思想而言，其数学思想可以说是不可或缺的一块拼图。众所周知，维特根斯坦早期思想主要受罗素与弗雷格的著作影响，正是由于其二人的数理逻辑著作，维特根斯坦才开始逐步走向哲学。而后维特根斯坦又重返哲学则是由于于1929年听了直觉主义代表人物布劳威尔关于数理逻辑的演讲。因此，可以说，语言问题与数学问题是贯穿维特根斯坦哲学思想的两条脉络，同时这两条脉络自身也发生勾连。因此，维特根斯坦后期哲学思想的数学观念部分不仅仅是数学哲学的问题，深入探讨也会涉及整个维特根斯坦思想体系的根基。这一思想典范也突出体现了20世纪后半段的数学哲学的转向。更突出的特征则在于维特根斯坦对于实在论的拒斥。
传统意义上的实在论无疑是在强调物理世界的客观实在性。实在论(realism)与这样一种哲学观点紧密相关，即我们这个物理世界是否是客观的。实在论认为，物理事实独立于经验的存在，即使没有任何人感知它，在过去、现在和将来世界都将自存着。因此，实在论立场是说，一般事物是通过对语句进行描述而确定其最终意义的。但对某些事物意义的通用性判据是独立存在于语言之外。[8]柏拉图主义者认为数学命题就是对于客观存在的数学对象的一种科学论断。但是在维特根斯坦看来，所有的数学命题根本不指涉任何数学实体，传统意义上的实在论根本是虚无。数学命题仅仅是表达了一种语义结构。所以维特根斯坦认为数学家是在发明数学而非发现数学。他更是强调数学知识生产的外部条件，例如数学家的实践活动。
同时对于基于数学内部进行逻辑演绎去获取数学知识的可能，维特根斯坦也给予了回应。后期维特根斯坦继续批判逻辑主义，批判其关于数学需要逻辑作为其基础的思想。他认为逻辑不能成为数学的基础，而且指出逻辑技术对于数学活动是有害的。他说：“逻辑对数学的‘灾难性入侵’。…逻辑技术的害处是，它使我们忘记特别的数学技术，因此逻辑技术只是数学中的辅助性技术。”“逻辑记号吞没了结构。”“‘数理逻辑’完全曲解了数学家和哲学家的思想。”他从语言游戏和意义即使用等角度批判了逻辑主义对于逻辑至高无上地位的信奉，逻辑只是我们认识世界的一种方法，并不是全部。如果逻辑主义者将逻辑的方法推广到数学的一切领域，这在他看来，绝对是不可能的，同时也是毫无意义的。[9]
维特根斯坦看来，数学本身是一种语言的游戏，但是本身也具有明确的确证性，自有其规则。而这种语言游戏又与生活现实紧密相联，与所谓的数学家共同体的实践活动密切相关。而这种所谓语言的游戏的规则本身也就是生活方式的一种语义学表达。
维特根斯坦不赞同在字词和句子使用的背后还有某种实在的东西，当然，他也不是说语言就能够独立于规则而存在，而是说语言游戏是要套嵌在人们的生活形式之中，并且语言行为要符合客观的语法规则、符合客观的假设，这样才使得语言的用法为真。[10]
正如维特根斯坦在讨论我们日常生活中所说“所有自然数都是整数”这一数学命题中的“所有”时所说：“’所有’这个词的要义肯定是这点：它不允许任何例外。——是的，这就是它在我们的语言中的运用的要义。不过，至于我们将哪些运用方式感觉成’要义’,这与如下事实联系在一起：这种运用在我们的整个生活中扮演了什么样的角色。”[11]
简而言之，数学作为一种语言游戏与我们的生活形式交融不分。更是一种被人在生活中所建构的一种产物。
三数学：一种人为建构的语言游戏
对于柏拉图主义者而言，每一次数学领域的知识进步都意味着人类对于未知领域存在的客体的探索就更进一步。而这种客体对象是先于人存在的。
但是对于维特根斯坦而言，这种传统数学哲学意义上的对象实在论纯属无稽之谈。数学的本质就是一种语言游戏，是在我们的生活中约定俗成的。数学计算中所运用的逻辑演绎也是一种在生活中约定俗成的规则。我们称为“逻辑推理”的东西是表达式的一种变形。比如，将一种测量单位换算成另一种测量单位。在一把尺子的边缘上涂着英寸，在另一个边缘上涂着厘米。我用英寸测量桌子，接着在这把尺子上转到厘米——自然，在从一种测量单位到另一种测量单位的转换中也存在着正确和错误。但是，在此正确的结果与哪种实在一致？或许与一种约定，或者与一种习惯一致，而且还或许与实际的需求一致。[12]
但是维特根斯坦指出基于不同的语言游戏的规则，2+2+2=4也可以成立。[13]
因此可知，这种数学运算的一系列操作与技术手段作为一种约定，被人的记忆所认同，在人的意志之中被承认。
维特根斯坦认为，语法规则决定了计算程序的正确性。当使用术语“决定”时，并不是意指这是说话者深思熟虑后的表现，恰恰相反,这是规则的应用且是自发的、本能的行为。对某些人来说，他们经过充分的语言训练进而拥有共同的倾向(Inclinations)，或分享了一种特别的生活形式。[14]
例如，当问在一个有7只鸭子，8只小鸡的笼中一共有多少家禽时，我们往往都会通过“7+8=15”来回答，而不会将这些鸭子与小鸡合成为一个集合再去一只一只的去数数。“7+8=15”作为语言游戏的规则已经作为一种默认的约定被集体认同。因此，数学原则的明确的真理性也因此而获得。维特根斯坦思想中，接受一条数学定理就是接受一条新的语言规则罢了。也正是在逻辑训练与不断学习之中，这些语言规则被承袭与传播并受到更大认同。在维特根斯坦看来,语法规则的获得是通过一定范围的应用来实现的。一种语法规则就是一种任意象征符号，如果规则一旦建立，那么它就不是随意的了；对于什么能做，什么不能做，都做出了相应的规定。[15]
因此，数学并不是静止的、绝对的、固定的，例如，当要求7加上8时候，一般人会提出“7+8=15”，也有人会提出“78”。但是这只不过是两条不同的语言规则而已。而语言游戏的规则则又是来源于生活形式，是生活形式的一种表达。维特根斯坦的后期数学哲学可以被理解成一种数学的建构主义，或者看成是一种人类学现象。他否认数学的客观性，认为数学的一致性源于语言游戏及生活形式上的一致性。[16]简而言之，数学是人建构的。
所以当有一种数学知识产生，就意味着一种新的语言游戏的产生。当游戏规则确证以后，随意性也自然消除。因而数学也是明确的。
维特根斯坦后期关于数学哲学的论调大大背离传统的数学哲学看法，并与其思想前后一以贯之并密切相关。因此探讨后期的维特根斯坦后期哲学思想的数学部分显得极为重要。当然这一观点历来争论不断，也绝非唯维特根斯坦马首是瞻。但是这些争论都可以化约为一个极为关键的问题：“数学是发现的还是发明的？”。笔者之前也与相关老师探讨此问题，诚然，这个问题确实十分有趣，但在严肃的学术研究视野下，此类发问并不是一个“好”的问题。往往陷入“鸡生蛋，蛋生鸡”的怪圈之中。但是，对于这一问题以及相关展开问题的思考与研讨无疑是进一步推动数学哲学理论发展的关键。
[1]康仕慧：《数学哲学的源头、图景及趋势》，《科学技术哲学研究》，第34卷，第1期，2017年2月。
[2]朱建平：《20世纪的逻辑哲学与数学哲学》，《广东社会科学》，2015年第2期。
[3]同上。
[4]康仕慧，吕立超：《当代数学哲学的语境走向》，《科学技术哲学研究》，第33卷，第6期，2016年12月。
[5]同上
[6]同上。
[7]朱建平：《20世纪的逻辑哲学与数学哲学》，《广东社会科学》，2015年第2期。
[8]樊岳红：《论维特根斯坦对实在论的拒斥——从语言哲学观点来看》，山西大学学报(哲学社会科学版)，第39卷第3期，2016年5月。
[9]徐弢：《论维特根斯坦对传统数学哲学思想的批判》，《自然辩证法研究》，第30卷第2期，2014年2月。
[10]樊岳红：《论维特根斯坦对实在论的拒斥——从语言哲学观点来看》，山西大学学报(哲学社会科学版)，第39卷第3期，2016年5月。
[11]维特根斯坦著，韩林合译：《数学基础研究》，第243页，商务印书馆，2016年。
[12]维特根斯坦著，韩林合译：《数学基础研究》，第240页，商务印书馆，2016年。
[13]相关详细论述参见维特根斯坦著，韩林合译：《数学基础研究》，第253页—第254页，商务印书馆，2016年。
[14]樊岳红、魏屹东著：《数学:一种人类学现象———后期维特根斯坦数学哲学思想探析＊》，《自然辩证法通讯》，2012年第5期。
[15]同上。
[16]樊岳红、魏屹东著：《数学:一种人类学现象———后期维特根斯坦数学哲学思想探析＊》，《自然辩证法通讯》，2012年第5期。
谢选骏指出：人説——维特根斯坦数学哲学思想：一种语言游戏（论后期维特根斯坦数学哲学思想：传统数学哲学实在论的幻灭）。我看這不是孤立的，因爲數學不過是思想主權的體現。
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